Question

已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE

已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连接AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP=2PQ

Answer 1

证明：
∵三角形ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°
∵D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD
∴BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAP=∠CBE
∴∠BDQ=∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°
∵连接AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q
∴三角形BPQ是直角三角形,∠BQP=90°，∠PBQ=30°
∴根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半有BP=2PQ

Answer 2

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠C=∠ABC=60°，
∵AE=CD，
∴EC=BD；
∴△BEC≌△ADB（SAS），
∴∠EBC=∠BAD；
∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°，
∵∠BPQ是△ABP外角，
∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ，
又∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ

Answer 3

证明：
∵三角形ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°
∵D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD
∴BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAP=∠CBE
∴∠BDQ=∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°
∵连接AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q
∴三角形BPQ是直角三角形,∠BQP=90°，∠PBQ=30°
∴根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半有BP=2PQ