Question

正方形ABCD中,点F为正方形ABCD内的点,△BFC绕着点

正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试猜想AE^2+AF^2是否成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，试举一反例说明。

Answer 1

解：（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC
在△BFC中，
∵BF^2+FC^2=4，
BC^2=4
∴BF^2+FC^2=BC^2
∴∠BFC=90°
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF
（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得
AC=√(AB^2+BC^2)=2√2 ．

∵AF：FC=3：1，
∴AF=3/4AC=3√2/2，FC=1/4 AC=√2/2
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=√2/2，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中，EF=( AE^2+AF^2)= √5，
在Rt△EBF中，EF^2=BE^2+BF^2
∵BE=BF
∴BF=√2/2,EF= √10/2

希望能帮到你

追问

请看清题目

Answer 2

好像题目不是很完整
是AE^2+AF^2=EF^2吗
由于旋转得到的三角形全等，∠FCB=∠EAB=45°
则∠EAF=90°，则AE^2+AF^2=EF^2成立