Question

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3，6），并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点，

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3，6），并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点，（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆AC、PC所在的直线及y轴都相切？若存在，请说出点M的坐标，若不存在，请说明理由
（前两题可以不用说了，只解第三题）

Answer 1

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3，6），并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点，（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆AC、PC所在的直线及y轴都相切？若存在，请说出点M的坐标，若不存在，请说明理由
(1)解析：∵函数f(x)=1/2x^2-x+m的图像经过点A（-3，6），
f(-3)=9/2+3+m=6==>m=-3/2
∴f(x)=1/2x^2-x-3/2

(2)解析：∵f(x)=1/2x^2-x-3/2
∴B(-1,0)，C(3,0)，P(1,-2)
设D(x,0)
∵∠DPC=∠BAC
K(AC)=-1，K(AB)=-3，k(DP)=2/(x-1)，k(CP)=2/2=1
∠BAC=arctan[(k(AC)-k(AB))/(1+k(AC)k(AB))]=arctan(1/2)
∠DPC=arctan[(k(DP)-k(CP))/(1+k(DP)k(CP))]=arctan((3-x)/(1+x))
(3-x)/(1+x)=1/2==>x=5/3
∴D(5/3,0)

(3)解析：存在点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切
∵A(-3,6)，C(3,0)，P(1,-2)
直线AC：x+y-3=0
直线PC：x-y-3=0
Y轴：x=0设点M（X0，0）
则点M到直线AC,PC的距离
X0=|x0-3|/√2==>(X0-3)^2=2X0^2==>X0=3√2-3
∴存在点M(3√2-3,0），使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切

Answer 2

存在点M，使以M为圆心的圆AC、PC所在的直线及y轴都相切
由题可得A(-3,6)B(-1,0)C(3,0)P(1,2)
则直线AC x+y-3=0
直线PC x-y-3=0
设点M（X0，0）且X0>0
因为圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切
所以点M到AC、PC所在的直线及y轴相等且等于半径等于X0
则根据点到直线的距离公式可得（X0-3)²／2=X0²
解得X0₁=-3+3√2 X0₂=-3-3√2 (舍去）
即存在点M（-3+3√2，0），使以M为圆心的圆AC、PC所在的直线及y轴都相切

大概思路就这样 好久没做啦 不知道中间计算过程有没有错