Question

∫√x/(2-x)dx

Answer 1

令t=√x，则x=t²
∫√x/(2-x)dx

= ∫t/(2-t²)dt²
=2 ∫t²/(2-t²)dt
=2 ∫t²/(2-t²)dt

=4∫1/(2-t²)dt -∫2dt 【常见积分公式之一：∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c】
=2√2arcsin(t/√2)-2t+C
=2√2arcsin(√x/√2)-2√x+C

追问

不好意思，x/(2-x)都在根号下，麻烦教我做一下，谢谢了！

追答

∫√[x/(2-x)]dx 这样写才不会误解

追问

恩恩，不好意思，嘻嘻！教我做一下吧，谢谢了，不然都睡不着啦！

追答

t=√[x/(2-x)]
x=2t^2/(1-t^2)
dx=4t/(1-t^2)^2dt
∫√[x/(2-x)]dx=4∫t^2/(1-t^2)^2dt
=4∫[1/(t^2-1)+1/(1-t^2)^2]dt

后面的分式再次换元t=sina，基本上能解出来了。

Answer 2

√x=t.x=t^2,dx=2tdt
原式=2∫t*t/(2-t^2)dt=2(∫-1dt+∫2/(2-t^2)dt)=-2t+2∫1/(1-(t/√2)^2)dt=-2t+2√2∫1/(1-(t/√2)^2)d(t/√2)=
-2t+2√2arctan(t/√2)=-2√x+2√2arctan(√x/√2)

Answer 3

∫√x/(2-x)dx=2∫x/(2-x)d√x=2∫(-1+2/(2-x)d√x=-2√x+4∫1/(2-x)d√x=-2√x-(4/√2)ln|(x-√2)/(x+√2)|+C