Question

已知函数f（x）=sin（x+7π/4）+cos（x-3π/4），x∈R。（1）求f(x)的最小正周期和最小值

(2)已知cos(β-α)=4/5，cos(β＋α)＝-4/5,0<α<β≤π/2,求证[f(β)]²-2=0

Answer 1

（1）展开f(x)=sin x*cos(7π/4)+cos x*sin(7π/4)+cos x*cos(7π/4)-sin x*sin(7π/4)
=√2 *(sin x-cos x)
=√2 *(sin x+sin (x+π/2))
和差化积 =2√2 * sin(x+π/4) *cos(-π/4)
=2sin(x+π/4)
最小正周期2π，最小值 -2
（2）cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=4/5
cos(β+α)=cosβcosα-sinβsinα=-4/5
则cosβcosα=0
sinβsinα=4/5
又0<α<β≤π/2，得β=π/2
则f(β)=2sin(π/2+π/4)=√2
即证[f(β)]²-2=0

追问

老师没有教过和差化积，能把和差化积那个部分的过程写给我吗

追答

和差化积公式sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

Answer 2

吧f(x)的两项分开来考虑。
sin（x+7π/4）化为sin（x-π/4+8π/4）=sin（x-π/4）.
cos（x-3π/4）化为cos（x-π/4-2π/4）=-sin（x-π/4）
所以f（x）=o，所以0；0。嘿嘿怎么感觉错错的啊。你题目有没有错哦。后面证明的就将x=b带入公式化简可以证明啦。但要筹到cos(β-α)=4/5，cos(β＋α)＝-4/5,这两个公式的化简。用上条件ok

追问

题目没有错呀