Question

椭圆上有一点与椭圆的左焦点连线，截得的弦的中垂线过右焦点，求离心率的范围。

我认为是【1/3,1）因为a-c>2c解得，但是我不知道能不能取到接近1。好多人选【1/3,2/3】怎么来的？？？？？？？？？？

Answer 1

这是懵人的题,
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>b,左右焦点为F1、 F2，弦为PQ,
根据椭圆定义,|PF1+|PF2|=2a,（1）
|QF1+|QF2|=2a,（2）
∵ F2在PQ的垂直平分线上，
∴|PF2|=|QF2|，(垂直平分线上任意一点至线段的两端点距离相等）
（1）-（2）式，
|PF1|-|QF1|=0，
∴|PF1|=|QF1|，
即F1是PQ的中点，
∵椭圆是轴对称图形，
∴只有PQ⊥X轴时，即X轴是PQ的垂直平分线，
∴椭圆是任意形状的，
∴0<e<1.

我猜想你的弦概念搞错了，可能是指PF1的中垂线经过右焦点F2吧？
若是，则设M是PF1的中点，MF2是PF1的中垂线，
如果是这样，则|PF2|=|F1F2|=2c,
2c+|PF1|=2a,
|PF1|=2a-2c,
∴|F1M|=a-c,
∵|F1M|<|F1F2|，（直角边小于斜边），
∴a-c<2c,
∴c/a>1/3,
∴e>1/3,
∴1/3<e<1.
要满足以上离心率条件，你可以以F1F2为直径作圆，以F1为圆心，以a-c为半径画弧，交圆于M点，延长F1M，交椭圆于P，则PF1的中垂线必过F2点，我认为e没有2/3的上限，你要知道，若e=1,则a=c,b=0,椭圆就蜕变成一条直线，若e=0,则c=0,焦距为0，a=b,是正圆。

Answer 2

设椭圆方程是x^/a^+y^/b^=1(a>b>0),
设过左焦点（-c,0)的弦AB：x=my-c,①代入上式得
b^(m^y^-2cmy+c^)+a^y^=a^b^,
(b^m^+a^)y^-2b^cmy-b^4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),
y1+y2=2b^cm/(b^m^+a^),
由①，x1+x2=m(y1+y2)-2c,
(x1-x2)/(y1-y2)=m,
依题意|AF|=|BF|,
∴(x1-c)^+y1^=(x2-c)^+y2^,
(x1-x2)(x1+x2-2c)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
m[m(y1+y2)-4c]+y1+y2=0,
(m^+1)(y1+y2)-4cm=0,
∴m=0或（m^+1)b^-2(b^m^+a^)=0,②
②变为b^(1--m^)-2a^=0,
(a^-c^)(1-m^)-2a^=0,
∴（1-e^)(1-m^)-2=0,其中e为离心率，
(m^-1)e^=m^+1,
e^=(m^+1)/(m^-1)>0，
∴m^>1,e^>1,矛盾。
m=0时x=-c,椭圆是任意的，0<e<1.