Question

已知两点F1（-根2，0），F2（根2，0），曲线C上的动点P（x，y）满足向量PF1*PF2+|PF1|*|PF2|=2

已知两点F1（-根2，0），F2（根2，0），曲线C上的动点P（x，y）满足向量PF1*PF2+|PF1|*|PF2|=2。求曲线C的方程。

Answer 1

以下有向线段表示向量
显然PF1=(-√2-x,-y)，PF2=(√2-x,-y)
于是|PF1|=√[(√2+x)^2+y^2]，|PF2|=√[(√2-x)^2+y^2]
且有PF1*PF2=(-√2-x)(√2-x)+(-y)(-y)=x^2+y^2-2
则依题有(x^2+y^2-2)+√[(√2+x)^2+y^2]*√[(√2-x)^2+y^2]=2
即(x^2+y^2-2)+√[(x^2+y^2+2)^2-8x^2]=2
即[(x^2+y^2)+2]^2-8x^2=[4-(x^2+y^2)]^2
即x^2/3+y^2=1