Question

如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,求证CN∥平面AMD

如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,(1)求证CN∥平面AMD
(2)求该几何体的体积

Answer 1

1、因为AB⊥AD，AB⊥MD，所以AB⊥面AMD；同理AB⊥面NBC。
因此面AMD∥面NBC，且NC在面NBC内，故NC∥面AMD

2、连结BD，记AC与BD的交点为O。那么几何体被分成四棱锥A-MDBN和四棱锥C-MDBN
因为MD平行等于NB，且他们都垂直于BD，因此四边形MDBN为矩形
他的面积S=BD*MD=√2
因为AO⊥BD且AO⊥MD，因此AO⊥面MDBN，同理CO⊥面MDBN。AO=CO=1/2AC=√2/2
现在可以知道四棱锥A-MDBN的体积=1/3*S*AO=1/3，同理四棱锥C-MDBN体积也为1/3
所以几何体的体积为2/3