Question

已知函数f(x)=sin2x+acosx-1/2a-3/2,x∈R,若f(x)的最大值为1,求实数a的范围。第一个sin2x是sinx的二次方。

Answer 1

令t=cosx,(-1≤t≤1),则有
f(t)=-t²+at-a/2-1/2,即为开口向下的抛物线，其对称轴为t=a/2.于是可作如下分类讨论：
①若对称轴在区间[-1,1]之间（含边界），即a/2∈[-1,1]，a∈[-2,2]；此时函数最大值为
f(a/2)=a²/4-a/2-1/2=1，得，a=1-√7或1+√7（舍）.
②若对称轴在区间[-1,1]右侧（不含边界），即a/2∈(1,+∞),a∈(2,+∞)；此时函数最大值为
f(1)=a/2-3/2=1,得，a=5.
③若对称轴在区间[-1,1]左侧（不含边界），即a/2∈(-∞,-1),a∈(-∞,-2)；此时函数最大值为
f(-1)=-3a/2-3/2=1,得，a=-5/3(舍).
综上，知a值为1-√7或5。

Answer 2

设y=sin^x+acosx-a/2-3/2
=-cos^x+acosx-a/2-1/2
=-(cosx-a/2)+a^/4-a/2-1/2的最大值为f(a),则
f(a)={a^/4-a/2-1/2,-2<=a<=2;
{a/2-3/2,a>2;
{-3a/2-3/2,a<-2.
由a^/4-a/2-1/2=1，得a^-2a-6=0,a=1-√7；
由a/2-3/2=1得a=5;
由-3a/2-3/2=1,-3a=5,a=-5/3(舍）。
综上，a=1-√7，或5.