Question

函数题、急~~~~

定义在R上f(x)的满足f(x+2)=f(x)且f(-x)=-f(x)当x属于(0,1)时f(x)=2^x/4^x+1
（1)求f(x)在[-1，1]上的解析式（2)证明f(x)在（0,1)上减函数。

Answer 1

依题意，f(x)周期为2，且为奇函数
令x=-1代入等式，得f(1)=f(-1),因f(-1)=-f(1),得f(1)=-f(-1),故有f(1)=0
1）x属于(0,1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)
x=0时，由奇函数性质，f(x)=0
x属于(-1,0)时，由奇函数性质，f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)=-2^x/(4^x+1)
x=1或-1时，f(x)=0

2)在(0,1)上，f(x)=2^x/(4^x+1)=1/[2^x+2^(-x)]
令t=2^x>1, t为关于x的增函数，同时t+1/t在t>1时为增函数，所以1/(t+1/t)为t的减函数
因此f(x)为x的减函数。