Question

如图,直线y=-1/2x+1与x轴,y轴分别交与A,B两点,以线段AB为直角边，在第一象限……

在第一象限内做等腰直角三角ABC，∠BAC=90°，点P（m，1/2）在第一象限内，若△ABP=△ABC的面积相等，则m的值为

Answer 1

解：过点P作x轴垂线，垂足为Q，则S△ABP=S直角梯形OBPQ-S△AOB-S△APQ
已知点O(0,0)，B(0,1)，A(2,0)，P(m,1/2)，Q(m,0)，m>0
于是，得OB=1 OA=2 AB=根号(OB^2+OA^2)=根号5=AC　 PQ=1/2 AQ=OQ-OA=m-2
S△ABC=S△ABP=S直角梯形OBPQ-S△AOB-S△APQ
AB*AC/2=(OB+PQ)*OQ/2-OA*OB/2-AQ*PQ/2
根号5*根号5/2=(1+1/2)*m/2-2*1/2-(m-2)*(1/2)/2
　　　　5=3m/2-1-m/2+1
m=5
所以点P（5，1/2）
答案有待核对。

Answer 2

OA=2，OB=1，AB=√5，
SΔABC=1/2AB^2=5/2，
过P作PD⊥Y轴于D，交AB于E，则E(1，1/2)，
SΔABP=SΔPBE+SΔAPE
=1/2PE*BD+1/2PE*OD=1/2PE*OB=1/2PE，
∴1/2PE=5/2，
PE=5，
∴m=1±5，
即m=6或-4。

Answer 3

过点C作CD⊥x轴于D，
∵直线y=-1/2x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（2，0），点B的坐标为：（0，1），
∴OA=2
OB=1，
∴AB=√5
等腰直角三角ABC,即AB=AC=√5，∠BAC=90°
△ABP=△ABC的面积相等
∴S△ABC=1/2×AB×AC=1/2×√5×√5=5／2
则即P到直线AB的距离与AC长度相等，即到AB的距离为√5，
︳1/2+1/2*M-1︳∕√﹙-1/2﹚²＋1=√5
﹙1/2M－1/2﹚／√5／4=√5
[1/4﹙M-1﹚²]／﹙5／4﹚=5
1/4﹙M-1﹚²＝4
﹙M-1﹚²=1
M=2或0
点P（m，1/2）在第一象限内
m=2