Question

数学高三三角函数问题

在△ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，且cos2B+cosB=0
（1）求角B的值
（2）若b=根号7，a+c=5，求△ABC的面积

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要详细过程~

Answer 1

有cos2B+cosB=0可知，用二倍角公式展开为
2cosB^2+cosB-1=0,解方程可知cosB=1/2或者是cosB=-1
因为B为三角形内角，不能为180°，所以cosB不能为-1
所以cosB=1/2即B=60°

由三角形边和角的关系b^2=a^2+c^2-2ac*cosB可知
7=a^2+c^2-2ac*cosB ①
再有a+c=5可知
a^2+c^2+2ac=25 ②
再加上cosB=1/2 ③
联立①②③可算出
ac=6
三角形面积S
S=ac*sinB/2=6×sinB/2=3sinB
因为B=60°，所以sinB=根号3/2,即S=3/2 根号3

Answer 2

（1）cos2B=2(cosB)²-1
所以2(cosB)²-1+cosB=0
cosB=0.5,B=60°
（2）cosB=（a²+c²-b²)/2ac=((a+c)²-2ac-b²)/2ac
ac=6
S=0.5acsinB=3√3 /2

Answer 3

（1）
cos2B = 2(cosB)的平方 - 1
∴ cos2B +cosB = 2(cosB)的平方 - 1+ cosB = (2cosB -1)(cosB+1) = 0
所以 cosB = 1/2 或者cosB = -1
又∵ B>0 所以 cosB = 1/2 所以 B = 60°
（2）s = 1/2acsinB
∵ 又 b的平方 = a的平方+ c的平方-2accosB
a+c = 5 所以 ac = 6
∴ s = 1/2*6*√3 = 3√3/2