Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速

运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

Answer 1

⑵∵RTΔAPD∽RTΔACB(公共角)，∴PA/PD=AC/BC=3/4，∴PD=4/3t，

BQ=8-2t，当PD=BQ，即4/3t=8-2t，t=2.4，

这时：CQ=4.8，PC=6-2.4=3.6，PD=3.2，

PQ=√(PC^2+CQ^2)=6，PQ≠PD，

∴不存在t的值，使四边形PDBQ为菱形。

Answer 2

⑵∵RTΔAPD∽RTΔACB(公共角)，∴PA/PD=AC/BC=3/4，∴PD=4/3t，
BQ=8-2t，当PD=BQ，即4/3t=8-2t，t=2.4，
这时：CQ=4.8，PC=6-2.4=3.6，PD=3.2，
PQ=√(PC^2+CQ^2)=6，PQ≠PD，
∴不存在t的值，使四边形PDBQ为菱形。