Question

高三难题!

已知椭圆C的两个焦点为F1（-1,0），F2（1,0），点A（1，2的平方根/2）在椭圆C上。
（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点B（2,0），设点P是椭圆C上任一点，求向量PF1*向量PB的取值范围。

Answer 1

（1）因为椭圆焦点为 F1（-1，0），F2（1，0），
因此设椭圆标准方程为 x^2/a^2+y^2/(a^2-1)=1 ，

将 x=1，y=√2/2 代入得 1/a^2+1/[2(a^2-1)]=1 ，
解得 a^2=2（舍去 1/2），
因此，椭圆C的标准方程为 x^2/2+y^2=1 。
（2）设 P（x，y）是椭圆上任一点，
则向量 PF1=（-1-x，-y），PB=（2-x，-y），
所以 PF1*PB=(-1-x)(2-x)+(-y)(-y)
=x^2-x-2+y^2
=x^2-x-2+1-x^2/2
=x^2/2-x-1
=1/2*(x-1)^2-3/2，
由于 P 在椭圆上，因此 -√2≤x≤√2 ，
所以，当 x=1 时，PF1*PB 取最小值 -3/2 ，
当 x= -√2 时，PF1*PB 取最大值 √2 ，
所以，PF1*PB 的取值范围是 [-3/2，√2] 。