Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为?

答案是根号2 用坐标法

Answer 1

正确答案是2，不是√2

 

解：如图，连接FB1，A1F则∠B1A1F就是A1B1与平面A1EF所成的角。

在平面A1B1C1D1内，以A1为原点，A1B1    为x轴，A1D1为y轴建立平面直角坐标系。

令D1(0，1)，则：C1(1，1)，B1(1,0)，F(1/2，1)

于是，求得直线A1F的方程为：y=2x

所以：A1B1与平面A1EF所成角的正切值为2

追问

E是AB中点

追答

看错了。

Answer 2

以A为原点，建立空间直角坐标系[A;AB'AD,AA1] 设边长为2.
所以A(0，0，0,) A1(0，0，2) B1(2，0，2) E(1,0,0) F(1,2,2)
A1B1(2,0,0) 面A1EF法向量n1=(2,-1,1)
sinP=cos<A1B1,n1>=4/(2*根号6）=根号6比上3 ， cosP=根号3比上3
所以tanP=根号2

Answer 3

设正方体的棱长为1

以AB为X轴，AC为Y轴，AA1为Z轴，建立空间直角坐标系
A1（0，0，1）B1（1，0，1）E（0.5，0，0）F（0.5，1，1）

设A1B1法向量为 （向量n）=（X，Y，Z)
（向量A1E）=（0.5，0，-1）
（向量A1F）=（0.5，1，0）
（向量A1B1）=(1，0，0)

0.5X-Z=0
0.5X+Y=0

所以
2Z=X
-2Y=X
令X=2

则（向量n）=（2，-1，1）
（向量n）*(向量A1B1）=1*2=2
|(向量n|*|（向量A1B1）|=1*√6=√6

A1B1与平面A1EF所成的角的正弦值为：
sinα=cos<（向量A1B1），（向量n）>=（向量n）*(向量A1B1)/ |(向量n|*|（向量A1B1）|=√6 /3
cosα=√(1-sinα^2)=√3 /3
tanα=sinα/cosα=√2