Question

已知函数f(x)=loga(1-mx/x-1)是奇函数(1)求m值(2)当a=2,x>1,求f(x)

Answer 1

f(x)是奇函数

则有f(-x)=-f(x)

即 loga[(1 mx)/(-x-1)] = -loga[(1-mx)/x-1] = loga[(x-1)/(1-mx)]

则 (1 mx)/(-x-1)=(x-1)/(1-mx)

化简得
(1-m^2)x^2=0
因x≠0
则 m=1 ,或 m=-1，代入原式验证，显然m=1不合题意是奇函数。

所以 m=-1

判断f(x)在(1, ∞)上的单调性
易求得f（x）的定义域为 (-∞,-1)U(1, ∞)

因 f(x) = loga(x 1)/(x-1) = loga [1 2/(x-1)]

易知 g(x)= 1 2/(x-1)为(1, ∞)上的减函数。
下面分类讨论：
若0<a<1时
f(x)为增函数。
若a>1时
f(x)为减函数。

第三题：
对于函数f(x) = loga(x 1)/(x-1)
若0<a<1 时
函数f(x)的值域是（1， ∞）
则
0<(x 1)/(x-1)<a
解得
-2/(1-a)<x<-1
因定义域为x∈(n,a-2)
则
-2/(1-a)=n
-1 =a-2
无解。

若a>1 时
函数f(x)的值域是（1， ∞）
则应该有
a<(x 1)/(x-1)
即
[(a-1)x-(a 1)]/(x-1)<0
解得
1<x<(a 1)/(a-1)
因定义域为x∈(n,a-2)
则有
n=1
a-2 = (a 1)/(a-1)
解得
a= 2 √3或 a= 2-√3(舍去)

所以 n=1, a= 2 √3

祝您愉快.

Answer 2

（1）m=1/x（2）将m=1/x代入f(x)=loga(1/x)，x>1，0<1/x<1，0<2^f(x)<1，f(x)<0