Question

一道初中数学题：

已知：抛物线y=ax2+4ax+m与x轴一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离 的比为5：2的 点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使APE∆的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
（要有完整的解题步骤，好的给分！不会的、说废话的葛文。）

Answer 1

解：（1）因为抛物线与x轴交点为（-1,0），所以当x=-1时，y=0，所以带入x=-1有a-4a+m=0，m=3a
带回解析式有y=a（x^2+4x+3）=a（x+1）（x+3），所以令y=0，有a（x+1）（x+3）=0，因为a≠0则x=-1或x=-3，所以另一个交点B为（-3，0）
（2）因为四边形ABCD为梯形且以AB为底，所以AB平行与CD，当x=0时，有y=3a，那么D点坐标为（0，3a），又因为AB平行于CD，所以C点纵坐标也为3a，那么令y=3a，有a（x+1）（x+3）=3a，因为a≠0，所以（x+1）（x+3）=3，所以x^2+4x=0，所以x=-4，那么C点坐标为（-4,3a），因为AB=2，CD=4，所以梯形面积为（4+2)×3|a|×0.5=9，所以|a|=1，所以a=±1，那么解析式为y=x^2+4x+3或y=-x^2-4x-3
(3)因为E在第二象限，所以E在y=-2.5x上，与抛物线联立，因为抛物线有两条，所以先以y=x^2+4x+3为例做解，联立后有2x^2+13x+6=0，有(x+6)(2x+1)=0，所以x=-6或x=-0.5，又因为抛物线对称轴为直线x=-2，所以，x=-6舍去，只保留x=-0.5，此时带入直线y=-2.5x有y=5/4，所以此时E（-1/2，5/4），因为要找△APE周长最小，所以做E关于直线x=-2的对称点（也在抛物线上）为E'（-7/2，5/4)，连AE'与对称轴交点即是P点，直线AE'解析式为y=(-1/2)x-1/2，那么当x=-2时，y=1/2，所以交点P为（-1/2,1/2)
还没完，再看另一种情况，同样，联立有
(-5/2)x=-x^2-4x-3，所以5x=2x^2+8x+6，有2x^2+3x+6=0，但是此时3^2-4×2×6=9-48＜0，判别式小于零，方程无实数解，所以E点不存在，则在这种情况下，点P也不存在
以上是此题解法，望采纳，有不明白可追问！

Answer 2

（1）因为y=ax2+4ax+m与x轴一个交点为A（-1，0）。所以可得到0=a-4a+m，m=3a,
将m=3a代入原来的式子中得到y=ax2+4ax+3a.y=a(x2+4x+3).式子变形为y=a[(x+2）²-1]
抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，那么y=0.那么应当满足以下条件：
要么a=0，要么(x+2）²-1=0，又已知此为抛物线，a=0的时候不成立，那么只有(x+2）²-1=0的时候即可。(x+2）²=1。可以得到x=-3;x=-1
抛物线与x轴相交两点为（-1.0）（-3.0）。B点为（-3.0）
（2）因为D是抛物线与y轴的交点,所以D=3a；因为C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，根据抛物线的可知以（2.0）垂直于x轴的直线对称，因为梯形上下两条线平行；所以可知CD=4,9=（2+4）*3a/2;得到a=1
解析式为y=x²+4x+3

第三小题我下班后在帮你解吧

追问

额，，，，，，，，，，，，，，，

Answer 3

解：（1）由A(-1,0)带入抛物线y=ax2+4ax+m得：
0=a-4a+m 得 m=3a
可把抛物线y=ax2+4ax+3a分解为
抛物线y=a（x+1）（x+3) y=0
故两个与x轴的两个交点A（-1，0） 、B（-3，0）
（2）由X=0得 D(0，3a) 由梯形的AB与CD平行，对称轴X= -2 得C(-4,3a)
面积为：
（4+2）/2 * 〡3a〡 =9 得 a=1 或 a=-1
故此抛物线的解析式：y=X2+4x+3 或者 y=-x2-4x-3
（3）由于E在第二象限，所以E在y=-2.5x上，与抛物线联立，
由于（2）得到的抛物线有两条，所以先以y=x2+4x+3为例做解，
y=X2+4x+3 和y=-2.5x联立后有2x^2+13x+6=0 得
(x+6)(2x+1)=0 得 x= - 6 或 x = -0.5
抛物线对称轴为直线x=-2，所以，x=-6舍去，得到x= -0.5，
此时带入直线y=-2.5x有y=5/4，所以此时E（-1/2，5/4），
因为要找△APE周长最小，所以做E关于直线x=-2的对称点为E'（-7/2，5/4)
[点E'（-7/2，5/4)也在抛物线上]
连AE'与对称轴交点即是P点，直线AE'解析式为y=(-1/2)x-1/2，
x=-2时，y=1/2，所以交点P为（-1/2,1/2)
由于的到的点与点PX轴向坐标X=-2不符。故此种情况不存在这样的点P。
同样， y=-X2-4x-3 和y=-2.5x联立后得(-5/2)x=-x^2-4x-3，
5x=2x2+8x+6，有2x2+3x+6=0
此方程判别式小于零，方程无实数解此时E点不存在。
综上得到证明不存在P点使APE∆的周长最小。

Answer 4

不要慌，慢慢来，你至少给个图嘛？还是说没图？

追问

滚，NTMD才慌，劳资没慌，不会的滚

追答

就这种题？做不来百度？傻叉

追问

NTMD厉害，你给劳资我解啊，NTMD就一婊子，光TMD放尼玛的屁
。

追答

跟你这种解个毛线，这种2B青年，那远滚哪