函数的零点问题

设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π)且x≠π\2时,(x-π\2)f... 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π) 且x≠π\2时 ,(x-π\2)f'(x)>0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上的零点个数为______ 展开
LX38186222
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分析:这种求零点问题一般都是用画图来解答,考试当然不能画精确,画草图即可。由题意x∈(0,π) 当x∈(0,π) 且x≠π/2  时,(x-π/2)f′(x)>0,以π/2 为分界点进行讨论,确定函数的单调性,利用函数的图形,画出草图进行求解

 

解:∵当x∈[0,π]时,0<f(x)<1,f(x)为偶函数,

∴当x∈[-π,2π]时,0<f(x)<1;

当x∈(0,π) 且x≠π/2   时,(x-π/2   )f′(x)>0,∴x∈[0,π/2   ]时,f(x)为单调减函数;x∈[π/2   ,π]时,f(x)为单调增函数,

∵x∈[0,π]时,0<f(x)<1,

在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出y=sinx和y=f(x)草图象如下

由图知y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为4个。

图画的不标准,但是答案也能出来,所以这种题一定要学会画图。

若还有疑问可以追问!

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2013-01-21 · TA获得超过9841个赞
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函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上的零点个数
即方程f(x)-sinx=0的解的个数
即函数y=f(x)和函数y=sinx的交点个数

画出[-2π,2π] 上y=sinx的图象
大致描绘f(x)的图象

因x∈[0,π]时0<f(x)<1
而f(x)为偶函数
则x∈[-π,0]时0<f(x)<1
于是x∈[-π,π]时0<f(x)<1
又f(x)=f(x+2π)
则x∈[-2π,2π]时0<f(x)<1

因x∈(0,π) 且x≠π\2时 ,(x-π/2)f'(x)>0
即x∈(0,π/2)时f'(x)>0,则f(x)递增
且x∈(π/2,π)时f'(x)<0,则f(x)递减
表明函数y=f(x)和函数y=sinx在x∈(0,π)时只有2个交点

因函数y=f(x)和函数y=sinx均为周期T=2π的周期函数
所以函数y=f(x)和函数y=sinx在[-2π,2π] 上有4个交点
即函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π] 上有4个零点
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djwuzhi
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