Question

已知3阶矩阵A，满足|A|=－2,|A－E|=0,AB=2B≠0，求|A2－2A－A*－E|

Answer 1

AB=2B≠0
那么|A|≠0 |B|≠0
(A-2E)B=0
所以|A-2E||B|=0
得出|A-2E|=0 还有|A-E|=0
A的特征值有1和2
|A|=-2=1*2*(-1)
所以还有一个特征值-1
所以A的特征值 -1 1 2
A^2对应的特征值是 1 1 4
A*对应丛族的特征值是 -2/-1=2 -2/1=-2 -2/2=-1
则A^2-2A-A*-E对应的特征值渗卜弊是 1-2*(-1)-2-1=0 1-1*2-(-2)-1=0 4-2*2-(-1)-1=0
所以|A^2－2A－A*－弊枣E|=0

Answer 2

由|A-E|=0, AB=2B≠0可知1, 2都是A的特征值. 又|A|=-2, 故A的另一个特征值为-1, A的特征多项式f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2. 由Hamilton-Caylay定理可知乎皮粗岁镇, A^3-2A^2-A+2E=0.

注意握毕到A^*=|A|* A^{-1}=-2* A^{-1}, 我们有A^2-2A-A^*-E=A^{-1}(A^3-2A^2-A+2E)=0. 所以|A^2-2A-A^*-E|=0.