Question

在线等答案 在数列{an}中，a1=1/3,a2=5/18,且数列{log2（3an+1－an）}是公差为-1的等差数列，

又数列{2an+1－an)}是公比为1/3的等比数列，求数列{an}的通式 求过程 ....

Answer 1

解：由a1=1/3，a2=5/18，数列{log2(3an+1-an)}是公差为-1的等差数列，得
首项为 log2(3a2-a1)=-1 通项公式log2(3an+1-an)=-n
则 3an+1-an=2^(-n) ①
数列{2an+1-an}是公比为1/3的等比数列，得 首项为2a2-a1=2/9
通项公式 2an+1-an=2*(1/3)^(n+1) ②
由①②，得 an=[2^(-n)+3^(-n)*2/3]/5

Answer 2

数列{log2（3an+1－an）}是公差为-1的等差数列
∴n≥2时，
log₂[3a(n+1)-an]-log₂[3an-a(n-1)]=-1
∴log₂[3a(n+1)-an]+1=log₂[3an-a(n-1)]
∴2[3a(n+1)-an]=3an-a(n-1)
∴[3a(n+1)-an]/[3an-a(n-1)]=1/2
∴{3a(n+1)-an}为等比数列，公比为1/2
∵a1=1/3,a2=5/18
∴3a(n+1)-an=(3a2-a1)*(1/2)^n =1/2ⁿ
∴a(n+1)=1/3*（an+ 1/2ⁿ)
∴a(n+1)-1/2^n=1/3*[an-1/2^(n-1)]
∴[a(n+1)-1/2^n]/[an-1/2^(n-1)]=1/3
∴{an-1/2^(n-1)}为等比数列，公比为1/3
∴an-1/2^(n-1)=(a1-1)*1/3^(n-1)=-2/3*1/3^(n-1)=-2/3ⁿ
∴an=1/2^(n-1)-2/3^n