Question

2013年金山区数学一模卷（最近刚考完）

如图，已知圆C的圆心在X轴上，且经过A（1,0），B（-3,0）两点，
抛物线y=mx方+bx+c（m＞0）经过A，B两点，顶点为P
（1）求抛物线与y轴的交点D的坐标（用m的代数式表示）
（2）当m为何值时，直线PD与圆C相切。
（联结PB，PD，BD）当m=1时，求∠BPD的正切值

Answer 1

(1) 抛物线过A, B, 可表达为y = m(x + 3)(x - 1)
x = 0, y = -3m, D(0, -3m)
(2)抛物线对称轴 x = (-3+ 1)/2 = -1
x = -1, y = -4m
P(-1, -4m)
C(-1, 0), 圆半径r = [1 - (-3)]/2 = 2
PD的斜率: (-3m+ 4m)/(0 + 1) = m, 方程: y = mx - 3m, mx - y - 3m = 0
C与PD的距离d = |-m - 0 - 3m|/√(m² + 1) = 4m/√(m² + 1) = 2
相切, d = r, m = √3/3 (舍去m = -√3/3 < 0)
不用点与直线的距离也行。先求出的斜率；然后可以求出过的垂线的斜率；然后通过二者的方程得到交点，以及三边的长。用勾股定理即可。
(3)
m = 1, P(-1, -4), D(0, -3), B(-3, 0)
BP² = 20
PD² = 2
BD² = 18
BP² = PD² + BD²
BPD为直角三角形, ∠BDP为直角
tan∠BPD = BD/PD = √18/√2 = 3

Answer 2

扫描图片的版本，10M的压缩包，通过后。
PS下午九点半下线后的第二天通过。