Question

在△ABC中，已知a、b、c三边成等比数列，求证：

Answer 1

看了半天，应该是：acos²(C/2)+ccos²(A/2) ≥ 3b/2

证岁则余明乎滚：
∵△ABC中，a,b,c成等比数列，
令b/a=c/b=q (q≠0)，则：
b=aq
c=bq=aq²

acos²(C/2)+ccos²(A/2)
=a(cosC+1)/2+c(cosA+1)/2] （倍角公式：cos^2(α/2)=(1+cosα)/2）
=(1/2)[(acosC+ccosA+a+c)] (余弦定理)
=(1/2)[a(a²+b²盯咐-c²)/(2ab)+c(b²+c²-a²)/(2bc)+(a+c)]
=(1/2)[(a²+b²-c²+b²+c²-a²)/(2b)+(a+c)]
=(1/2)[2b²/(2b)+(a+c)]
=(1/2)(a+b+c)
=(1/2)[(a+aq²)+b]
=(1/2)[a(1+q²)+b]
≥(1/2)[a*2q+b] (根据a²+b²≥2ab)
=(1/2)(2aq+b)
=(1/2)(2b+b)
=3b/2
当且仅当q=1时取等号，此时△ABC中：
b=aq=a
c=bq=b=a
因此：a=b=c是全等三角形

证毕