Question

设｛an｝是等差数列，｛bn｝是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,

设｛an｝是等差数列，｛bn｝是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
（一）求｛an｝、｛bn｝的通项公式；（二）求数列｛an／bn｝的前n项和Sn。

Answer 1

设
an=a1+(n-1)d
bn=b1(n-1)^q
a1=b1=1............(1)
a5+b3=13............(2)
a3+b5=21............(3)
4d+q^2=12............(4)
2d+q^4=20..........(5)
(5)*2-(4)得
2q^4-q^2-28=0
(q^2-4)(2q^2+7)=0
q^2=4
q=2
d=2
an=2n-1
bn=2^(n-1)

Sn=1/1+3/2+5/4+...+(2n-1)/2^(n-1)
(1/2)S=1/2+3/4+5/8+...+(2n-1)/2^n
相减得
(1/2)S=1+1+1/2+...+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=3-1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n
Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)

很高兴为您解答，祝你学习进步！【the1900】团队为您答题。
有不明白的可以追问！如果您认可我的回答。
请点击下面的【选为满意回答】按钮，谢谢！

Answer 2

解：
根据题意，设an=a1+(n-1)d，bn=b1q^(n-1)，其中
d≠0，q≠0，1
则：
an=1+nd-d
bn=q^(n-1)
（1）
a3+b5=1+2d+q^4=21
a5+b3=1+4d+q^2=13
则：
2d+q^4=20..........(1)
4d+q^2=12..........(2)

(1)×2，得：
4d+2q^4=40........(3)
(3)-(2)，得：
2q^4-q^2=28

(q^2-4)(2q^2+7)=0
q^2=4或者-7/2(舍去)，则：
q=2或者-2
∵bn=q^(n-1)>0,
∴q>0
因此：q=2
d=2
∴an=2n-1
bn=2^(n-1)
令cn=an/bn,则：
cn=(2n-1)/[2^(n-1)]
令cn的前n项和为Sn，则：
Sn = 1/1+3/2+5/2²+7/2³+.....+(2n-1)/[2^(n-1)]
Sn/2 = 1/2+3/2²+5/2³+.....+(2n-3)/[2^(n-1)]+(2n-1)/[2^(n)]

上述两式相减：
Sn/2 =1+2/2+2/2²+2/2³+....+2/[2^(n-1)]-(2n-1)/[2^(n)]

Sn/2 =1+2{1/2+1/2²+1/2³+....+1/[2^(n-1)]} - (2n-1)/[2^(n)]

Sn/2 =1+2[1-(1/2)^(n-1)] - (2n-1)/[2^(n)]

整理得：
Sn=6-[(2n+3)/(2^n)]

Answer 3

(一)设an=1+（n-1)d ,bn=q^(n-1)
根据已知：
1+2d+q^4=21 1+4d+q^2=13
解得 d=2 ,q=2 或 -2（因为已经b数列为正数，既q>0所以舍去.)
因此：an=2n-1, bn=2^(n-1)
(二)用错位相减法求和:
Sn=1/1+3/2+5/4+...+(2n-1)/2^(n-1)
(1/2)S=1/2+3/4+5/8+...+(2n-1)/2^n
相减得
(1/2)S=1+1+1/2+...+1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=3-1/2^(n-2)-(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n
Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)

Answer 4

设{an}=1+(n-1)d,{bn}=1*q^n-1
代入a3+b5=21,a5+b3=13
有1+2d+q^4=21,1+4d+q^2=13,解得d=2,q=2
所以{an}=2n-1,{bn}=2^n-1