Question

如图（1），在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．

（1）试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系；
（2）如图（2），当点F在AE的延长线上时，其余条件都不变，判断你在（1）中推导的结论是否还成立？

Answer 1

1)∠EFD与∠B、∠C的大小关系:∠EFD=(∠C-∠B)/2
理由
在△ABE中，∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+∠BAC/2
在△ACE中，∠AEC=180-∠C-∠CAE=180-∠C-∠BAC/2
两式相加，得，
2∠AEC=∠B+∠BAC/2+180-∠C-∠BAC/2=180+∠B-∠C
即∠AEC=(∠B-∠C)/2+90°
所以90-∠AEC=(∠C-∠B)/2
因为FD⊥BC于D．
所以∠AEC+∠EFD=90
所以∠EFD=(∠C-∠B)/2

2）∠EFD=(∠C-∠B)/2仍然成立

Answer 2

1
<AEC=<B+<BAE=<B+<A/2=<B+(180-<B-<C)/2=<B+90-<B/2-<C/2=90+<B/2-<C/2

∵FD⊥BC
∴<FEC+<EFD=90
<EFD=90-<FEC=90-(90+<B/2-<C/2)=(<C-<B)/2
2（1）中推导的结论成立

∵FD⊥BC
∴<FEB+<EFD=90
<FEB=<AEC=<B+<BAE=<B+<A/2=<B+(180-<B-<C)/2=<B+90-<B/2-<C/2=90+<B/2-<C/2
<EFD=90-<FEB=90-(90+<B/2-<C/2)=(<C-<B)/2

Answer 3

图(1)：∵FD⊥BC于D ∴∠FDE=90°
∴∠EFD+∠FED
=∠FED+(∠B+∠BAE)
=∠FED+[∠B+(1/2∠A)]
=∠FED+[∠B+1/2(180-∠B-∠C)]
=∠FED+(90-1/2∠B-1/2∠C)=90
∴∠FED=1/2∠B+1/2∠C

图(2)： ∠EFD+∠FED
=∠FED+(∠B+∠BAE)
=∠FED+[∠B+(1/2∠A)]
=∠FED+[∠B+1/2(180-∠B-∠C)]
=∠FED+(90-1/2∠B-1/2∠C)=90
∴∠FED=1/2∠B+1/2∠C