Question

高数：用数列极限的定义证明

1、lim (a^n)/(n!)=0

以上a为常数，都是n→+oo时的极限

Answer 1

可以证 正项级数∑|(a^n)/(n!)| 是收敛的，利用达朗贝尔判别法，lim（U n+1）/(U n)=ρ
得 ρ=0小于1 说明级数收敛。

而|(a^n)/(n!)|是收敛级数∑|(a^n)/(n!)|

的一般项，然后根据收敛性质，收敛级数的一般项趋近0（n趋近无穷的时候）。

Answer 2

数列{bn},bn=|(a^n)/(n!)|
令a>0,可去掉绝对值
存在正整数t>a
任意c>0，令N>{ln[c/(a^t)]}/ln(a/t)+t=(lnc-tlna)/(lna-lnt)+t
当n>N
(a^n)/(n!)-0=(a^t)/(t!)*(a^(n-t))/(n!/t!)<a^t*(a^(n-t))/(t^(n-t))=a^t*(a/t)^(n-t)<c

极限为0

追问

是怎么想到要把式子化成
(a^n)/(n!)-00啊，a是常数，所以如果a<=0的话会怎么样？

追答

(a^t)/(t!)<a^t

(a^(n-t))/(n!/t!)=(a^(n-t))/[(t+1)(t+2)(t+3)……]<(a^(n-t))/(t^(n-t))

a<0时加上绝对值，绝对收敛则收敛。

Answer 3

Answer 4

这就是个标准的迈克劳林级数~我手头没有笔~你算算吧~按照e^x去展开~