Question

一道行列式计算题

1.计算下列行列式
x y 0...0 0
0 x y...0 0
.
0 0 0...x y
y 0 0...0 x
2.设A B为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|，T是转置矩阵的符号

Answer 1

1. 这个行列式可按行列式的定义或展开定理直接得出结果
D = x^n + (-1)^t(234...n1)y^n
= x^n + (-1)^(n-1) y^n

2. 由已知, |A|^2=|B|^2 = 1
所以 |A|, |B| 等于 1 或 -1
因为 |A|+|B|=0
所以 |A||B|= -1
所以有
|A+B|
= - |A||A+B||B|
= - |A^T||A+B||B^T|
= - |A^TAB^T+A^TBB^T|
= - |B^T+A^T|
= - |(A+B)^T|
= - |A+B|.
所以 |A+B| = 0.

追问

也就是说n阶方阵是满足乘法分配律，即|A||C+B|=|AC+AB|，对吗

追答

对的

Answer 2

第一题 将第一列展开
则D=x*x^(n-1) + (-1)^(n+1) y*y^(n-1)=x^n + (-1)^(n+1) y^n

第二题 由|A|+|B|=0得 |A|=- |B|
A^T(A+B)B^T=B^T +A^T =(A+B)^T
故|A^T(A+B)B^T |=|(A+B)^T|
即|A^T| |A+B| |B^T|=|A+B|
即|A| |A+B| |B|=|A+B|
得 -|A|^2 |A+B|=|A+B|
又由AA^T=E,得| AA^T|=|E| 即 |A|^2=1
故 -|A+B|=|A+B|
得|A+B|=0