Question

如下图，已知直线l 1 ∥l 2 ，l 3 、l 4 和l 1 、l 2 分别交于点A、B、C、D，点P在直线l 3 或l 4 上且不

如下图，已知直线l 1 ∥l 2 ，l 3 、l 4 和l 1 、l 2 分别交于点A、B、C、D，点P在直线l 3 或l 4 上且不与点A、B、C、D重合。记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3。（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系。





Answer 1

解：（1）证明：过P作PQ∥l 1 ∥l 2 ， 由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2。 （2）∠3=∠2﹣∠1； 证明：过P作直线PQ∥l 1 ∥l 2 ， 则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE， ∴∠3=∠2﹣∠1。 （3）∠3=360°﹣∠1﹣∠2。 证明：过P作PQ∥l 1 ∥l 2 ； 同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2。 （4）过P作PQ∥l 1 ∥l 2 ； ①当P在C点上方时， 同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0， 即∠3=∠1﹣∠2。 ②当P在D点下方时， ∠3=∠2﹣∠1，解法同上。 综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2， 当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1。