Question

如图，椭圆x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）经过点（0，2），其左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别为F1、F2，

如图，椭圆x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）经过点（0，2），其左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别为F1、F2，P（异于A、B）是椭圆上的动点，连接PA、PB交直线x=5于M、N两点，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列．（1）求此椭圆的离心率；（2）求证：以线段MN为直径的圆过点F2．

Answer 1

（1）由题意知a-c，2c，a+c成等比数列，
∴（2c）²=（a+c）（a-c），
解得e=

c

a

=

5

5

，
（2）由e=

c

a

=

5

5

，椭圆过点（0，2），
∴b=2，解得a=

5

，c=1，
设P（x₀，y₀），由题意l_PA：y=

y0

x0+ 5

（x+

5

），
直线l_PB：y＝

y0

x0? 5

(x?

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