Question

如图，抛物线c1：y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过

如图，抛物线c1：y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线l⊥x轴于点F，交抛物线c1点E．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；（3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？

Answer 1

（1）已知抛物线过A、B、C三点，令y=0，
则有：x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3；
因此A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（3，0）；
令x=0，y=-3，
因此C点的坐标为（0，-3）．

（2）设直线BC的解析式为y=kx-3．
则有：3k-3=0，k=1，
因此直线BC的解析式为y=x-3．
设F点的坐标为（a，0）．
PE=EF-PF=|a²-2a-3|-|a-3|=-a²+3a=-（a-

3

2

）²+

9

4

（0≤a≤3）
因此PE长的最大值为

9

4

．

（3）由（2）可知：F点的坐标为（

3

2

，0）．
因此BF=OB-OF=

3

2

．
设直线BE的解析式为y=kx+b．则有：

3k+b＝0 3 2 k+b＝? 15 4

，
解得：

k＝ 5 2 b＝? 15 2

，
∴直线BE的解析式为y=

5

2

x-

15

2

．
设平移后的抛物线c₂的解析式为y=（x-1-k）²-4（k＞0）．
过M作MN⊥x轴于N，
①ME：MB=2：1；
∵MN∥EF
∴

BM

BE

＝

BN

BF

＝

1

3

∴BN=

1

2

，
∴N点的坐标为（

5

2

，0），又直线BE过M点．
∴M点坐标为（

5

2

，-

5

4

）．
由于抛物线c2过M点，
因此-

5

4

=（

5

2

-1-k）²-4，
解得k=

3+ 11

2

（负值舍去）．
②ME：MB=1：2；

BM

BE

＝

BN

BF

＝

2

3

∴BN=1
∴N点的坐标为（2，0），
∴M点的坐标为（2，-

5

2

）．
由于抛物线c₂过M点，
则有-

5

2

=（2-1-k）²-4，
解得k=1+

6

2

（负值舍去）．
因此抛物线c₁应向右平移

3+ 11

2

或1+

6

2

个单位长度后可得到抛物线c₂．