Question

如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB．（1）证明：DC⊥DE；（2）求EC与

如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB．（1）证明：DC⊥DE；（2）求EC与平面A1DC所成角的正弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：由AC＝CB＝

2

2

AB，知CD⊥AB，
又直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D分别是AB的中点，
所以CD⊥AA₁，
因为AA₁∩AB=A，
所以CD⊥面A₁ABB₁，
因为DE?面A₁ABB₁，
所以DC⊥DE；
（2）解：设AA₁=2a，则可得A1D＝

6

a，DE＝

3

a，A₁E=3a，
所以A1E2＝A1D2+DE2，
故A₁D⊥DE，
又由（1）得DC⊥DE，A₁D∩DC=D，
所以DE⊥面A₁DC，故所求角的平面角为∠ECD，
故sin∠ECD＝

DE

CE

＝

3 a

5 a

＝

15

5

．