已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x+4y+6=0与以椭圆

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心,以椭圆C的长半轴长为半径的圆相... 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心,以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A,过点A的直线AM、AN分别与椭圆C交于M、N两点,kAM、kAN分别为直线AM、AN的斜率,kAM?kAN=-34,求证:直线MN过定点,并求出该定点坐标;(3)在(2)的条件下,求△AMN面积的最大值. 展开
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死死死死27
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知道答主
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解答:(1)解:由于短轴的顶点与右焦点的距离为a,
则由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,则a=2b,
又直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心,以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切,
则d=
|0+4b+6|
32+42
=a,即有5a=4b+6,
解得,a=2,b=1.
则椭圆方程为:
x2
4
+y2=1

(2)证明:设直线MN的方程为y=kx+t,M、N坐标分别为M(x1,y1)、N(x2,y2),
y=kx+t
x2+4y2=4
?(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.
判别式为64k2t2-4(1+4k2)(4t2-4)>0,
∴x1+x2=-
8kt
1+4k2
,x1x2=
4t2?4
1+4k2

∵kAM=
y1
x1+2
,kAN=
y2
x2+2

∴kAM?kAN=
(kx1+t)(kx2+t)
(x1+2)(x2+2)
=
k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
x1x2+2(x1+x2)+4
=-
3
4

将韦达定理代入,并整理得
t2?4k2
4t2?16kt+16k2
=-
3
4
,化简得,t2-3kt+2k2=0,
即有t=k或t=2k,则直线MN的方程为y=k(x+1)或y=k(x+2),
由于A(-2,0),则直线MN恒过定点Q(-1,0);
(3)解:△AMN面积为S=
1
2
|AQ|?|y1-y2|,
设直线MN:x=my-1,联立椭圆方程,得到(4+m2)y2-2my-3=0,
则y1+y2=
2m
4+m2
,y1y2=
?3
4+m2

则S=
1
2
(y1+y2)2?4y1y2
=
1
2
(
2m
4+m2
)2+
12
4+m2
=
2
3+m2
4+m2
=
2
3+m2
+
1
3+m2

3+m2
=u(u
3
),则u+
1
u
在[
caishuaigeda
2017-12-05 · TA获得超过785个赞
知道答主
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