已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭圆
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相...
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM、AN分别与椭圆C交于M、N两点，kAM、kAN分别为直线AM、AN的斜率，kAM?kAN=-34，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标；（3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值．
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解答：（1）解：由于短轴的顶点与右焦点的距离为a，
则由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则a=2b，
又直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切，
则d=
=a，即有5a=4b+6，
解得，a=2，b=1．
则椭圆方程为：
+y2＝1；
（2）证明：设直线MN的方程为y=kx+t，M、N坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），
由
?（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0．
判别式为64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）＞0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，
∵kAM=
，kAN=
，
∴kAM?kAN=
=
=-
，
将韦达定理代入，并整理得
=-
，化简得，t2-3kt+2k2=0，
即有t=k或t=2k，则直线MN的方程为y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A（-2，0），则直线MN恒过定点Q（-1，0）；
（3）解：△AMN面积为S=
|AQ|?|y1-y2|，
设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，得到（4+m2）y2-2my-3=0，
则y1+y2=
，y1y2=
，
则S=
=
=
=
令
=u（u≥
），则u+
在[
则由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则a=2b，
又直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切，
则d=
| |0+4b+6| | ||
|
解得，a=2，b=1．
则椭圆方程为：
| x2 |
| 4 |
（2）证明：设直线MN的方程为y=kx+t，M、N坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），
由
|
判别式为64k2t2-4（1+4k2）（4t2-4）＞0，
∴x1+x2=-
| 8kt |
| 1+4k2 |
| 4t2?4 |
| 1+4k2 |
∵kAM=
| y1 |
| x1+2 |
| y2 |
| x2+2 |
∴kAM?kAN=
| (kx1+t)(kx2+t) |
| (x1+2)(x2+2) |
| k2x1x2+kt(x1+x2)+t2 |
| x1x2+2(x1+x2)+4 |
| 3 |
| 4 |
将韦达定理代入，并整理得
| t2?4k2 |
| 4t2?16kt+16k2 |
| 3 |
| 4 |
即有t=k或t=2k，则直线MN的方程为y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A（-2，0），则直线MN恒过定点Q（-1，0）；
（3）解：△AMN面积为S=
| 1 |
| 2 |
设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，得到（4+m2）y2-2my-3=0，
则y1+y2=
| 2m |
| 4+m2 |
| ?3 |
| 4+m2 |
则S=
| 1 |
| 2 |
| (y1+y2)2?4y1y2 |
| 1 |
| 2 |
(
|
2
| ||
| 4+m2 |
| 2 | ||||||
|
令
| 3+m2 |
| 3 |
| 1 |
| u |
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