Question

已知函数f（x）=ax-a-x，（a＞0且a≠1），（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）的单调

已知函数f（x）=ax-a-x，（a＞0且a≠1），（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）的单调性，并说明理由．（不需要严格的定义证明，只要说出理由即可）（3）若a=12，方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为1的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由．（注：区间（a，b）的长度=b-a）

Answer 1

（1）函数f（x）=a^x-a^-x为奇函数．
证明：函数f（x）=a^x-a^-x的定义域为R，关于原点对称．
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x=a^x-（

1

a

）^x，
①当a＞1时，y=a^x单调递增，y=（

1

a

）^x单调递减，
所以f（x）=a^x-a^-x单调递增．
②当0＜a＜1时，y=a^x单调递减，y=（

1

a

）^x单调递增，
∴f（x）=a^x-a^-x单调递减．
综上所述，a＞1时，y=f（x）单调递增；0＜a＜1时，y=f（x）单调递减．
（3）当a=

1

2

时，f（x）=（

1

2

）^x-2^x，又f（x）=x+1，
设g（x）=f（x）-（x+1）=（

1

2

）^x-2^x-（x+1），
∵g（-1）=

3

2

＞0，g（0）=-1＜0，
∴g（-1）g（0）＜0，故y=g（x）存在零点x₀∈（-1，0），
∴方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．