Question

已知函数f（x）=x|x-a|（a∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a 2

已知函数f（x）=x|x-a|（a∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a 2 ．

Answer 1

（1）当a=0时， f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）， ∴f（x）是奇函数． 当a≠0时，f（a）=0且f（-a）=-2a|a|． 故f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a）． ∴f（x）是非奇非偶函数． （2）由题设知x|x-a|≥2a 2 ， ∴原不等式等价于 x＜a - x 2 +ax≥2 a 2 ① 或 x≥a x 2 -ax≥2 a 2 . ② 由①得 x＜a x 2 -ax+2 a 2 ≤0. x∈?． 由②得 x≥a (x-2a)(x+a)≥0. 当a=0时，x≥0． 当a＞0时， x≥a x≤2a或x≥-a ∴x≥2a． 当a＜0时， x≥a x≥2a或x≤-a 即x≥-a． 综上 a≥0时，f（x）≥2a 2 的解集为{x|x≥2a}； a＜0时，f（x）≥2a 2 的解集为{x|x≥-a}．