Question

设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x

设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

（1）求导得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12
解得：a=1，b=-3．
（2）由a=1，b=-3得：f（x）=x³-3x²-9x，
f′（x）=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数，
∴f（x）_极大值=f（-1）=5，
f（x）_极小值=f（3）=-27．