Question

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +lnx ．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（

已知函数f（x）= 1 2 x 2 +lnx ．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）= 2 3 x 3 图象的下方；（Ⅲ）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，存在两个极值点，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)=x+ 1 x ∵x＞0，∴f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数， ∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（e）= 1 2 e 2 +1 ， 最小值为f（1）= 1 2 ； （Ⅱ）证明：设G（x）=g（x）-f（x）， 则G（x）= 2 3 x 3 - 1 2 x 2 -lnx ， G′(x)=2 x 2 -x- 1 x = 2 x 3 - x 2 -1 x = x 2 (x-1)+ x 3 -1 x ， 当x∈（1，+∞）时，显然有G′（x）＞0， ∴G（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数， ∴G（x）＞G（1）= 1 6 ＞0在（1，+∞）上恒成立， 即g（x）＞f（x）在（1，+∞）上恒成立， ∴在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）= 2 3 x 3 图象的下方． （Ⅲ）令h（x）=- 5 2 x，则F（x）= 1 2 x 2 +lnx - 5 2 x（x＞0）， F′(x)=x+ 1 x - 5 2 = 2 x 2 -5x+2 2x 令F′（x）=0，得x= 1 2 ，或x=2，令F′（x）＞0得， 0＜x＜ 1 2 ，或x＞2，令F′（x）＜0得， 1 2 ＜x＜2 ∴当h（x）=- 5 2 x时，函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上， 存在两个极值点x 1 = 1 2 ，x 2 =2．