Question

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ax+m在[1e，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
则f′（x）=

2

x

-2x+2，切点坐标为（1，1），
切线斜率k=f′（1）=2，
则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y-1=2（x-1），
即y=2x-1；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax+m=2lnx-x²+m，
则g′（x）=

2

x

-2x=

?2(x+1)(x?1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，
∴由g′（x）=0，得x=1，
当

1

e

＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，
故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m-1，
g（

1

e

）=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（

1

e

）=4-e²+

1

e2

＜0，
则g（e）＜g（

1

e

），
∴g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上最小值为g（e），
要使g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，e]上有两个零点，
则满足

g(1)＝m?1＞0 g( 1 e )＝m?2? 1 e2 ≤0

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
故实数m的取值范围是（1，2+

1

e2

]