Question

高等数学微积分无穷级数问题

我是初学者，所以问的问题有点多，不过问的问题都是最基础的那种问题，还望大侠们能够帮帮我。

1.

书上定义的交错级数是（-1）^（n-1），而图中的是（-1）^n，那像图中那样的式子能算是交错级数吗？图中这样的能用莱布尼茨定理来确定他的收敛性吗？

2.
若一个无穷级数是发散的，那么它乘以一个常数后还是发散的吗？

3.
幂级数的运算是不是只能在他的收敛域内才能进行？

4.

当a=1时，他的收敛性怎么判断？
我是这样想的：当a=1时，丨un丨是一个P=1的P-级数，所以发散
因为a=1，a^n就是1^n，我就直接把他忽略掉了
但是答案好像是收敛，可能我这么做是不对的，请问为什么不能这样做？应该怎么做呢？

5.

判断图中的级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散？

6.

这个式子成立吗？

7.

若前面两个级数收敛，怎么证明第三个级数收敛？

8.

怎么判断他的收敛性？

9.

图中求和符号下面是n=1，怎么判断他的收敛性？

10.

求收敛几何级数的和s与部分和sn之差（s-sn）.
图中左边是参考答案，右边是我做出来的答案。请问怎么转换才能变成参考答案那样？我试过用等比数列求和公式来转换，可是由于后面不知道q的指数究竟是多少，所以无法带入等比数列求和公式，望高人求助！！！

11.

求图中左边的那个式子的和。右边那个式子是我自己拆分的，不知道拆分得对不对，这样拆分后不好消，请问怎么消？还是有什么别的方法？求助！！！

12.

图中求和符号下面是n=1，这是一个幂级数，我本来想用lim（n→无穷大）丨a（n+1）/a（n）丨=P来判断他的收敛半径的。可是要用这个定理的话，必须保证幂级数没有缺项，但是仔细看这个图的话发现这个幂级数没有x^0这一项。所以我现在不知道这样的式子还能不能用这个定理来进行判断？望高人解答！！！

一共12个问题，请大家帮帮忙，全都是概念性问题，都不难的，我很多都不懂。

万分感谢！！！！！！



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Answer 1

1、只要正负项交错出现就是交错级数，通项里面可以是(-1)^n，也可以是(-1)^(n-1)。对于两种形式的交错级数，都可用莱布尼兹定理判别收敛性，因为莱布尼兹定理的条件都是针对通项的绝对值。
2、级数的一个性质是级数的通项乘以非零数k后收敛性不变。若k=0，不管原级数收敛还是发散，新级数肯定收敛。
3、幂级数的四则运算与求极限、求导、求积运算只能在收敛域内讨论。
4、你判断的只是级数不绝对收敛，它自身是交错级数，用莱布尼兹定理可知级数收敛，最终结果是级数条件收敛。
5、通项可以写成(-1)^n×sin(1/lnn)，先判断级数是否绝对收敛，n→∞时，sin(1/lnn)等价于1/lnn，1/lnn＞1/n，所以级数∑1/lnn发散，所以原级数不绝对收敛。用莱布尼兹定理可以判断级数是收敛的，所以级数条件收敛。
6、u(x)的极限存在非零，(x)的极限存在非零时，这个式子成立。对于未定式0^0，0^∞，∞^0，1^∞等形式，取对数后用洛必达法则。
7、|an|/n≤1/2(an^2+1/n^2)，由比较法，级数收敛。
8、讨论数列{an}的收敛性？很明显{an}单调减少有界，收敛。如果是级数∑an，用比值法，a(n+1)/an→0，级数收敛。
9、比值法，极限是4/5，级数收敛。
10、首先|q|＜1，否则S不存在。这里需要注意的是余项级数S-Sn=aq^n+aq^(n+1)+...中n是相对固定数，通项a*q^(n+k)，k从0到∞，所以S-Sn就是一个首项为aq^n，公比为q的等比级数，其和是aq^n/(1-q)。
11、1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1) - 1/(n+1)(n+2)]，求Sn时两两抵消。思路是：要想做到两两抵消，分母只能是相邻两个数相乘才行。
12、级数的性质：去掉有限项不改变级数的收敛性。自然也不可能改变幂级数的收敛半径。从数列极限的角度来说，去掉有限项，数列的收敛性，数列的极限都不变。

追问

7.请问为什么这个不等式会成立？我看不懂这个不等式。
8.请问他的极限是怎么计算的？不是有个sin吗？他的极限是不存在的啊，那为什么极限是0？
9.我一开始也是用比值法的，可是我化简不了，因为5^n和3^n貌似合不到一起。
10.请问为什么|q|＜1，否则S不存在？
12.请问那个定理中规定的不能缺项，究竟是怎么样的不能缺项？既然像你说的缺项没关系，为什么书中要区别缺项与没有缺项的？
万分感谢！！！

追答

7、均值不等式，都用滥了。
8、1+sinn有界，1/n是无穷小。
9、U(n+1)/Un＝4×(5^n-3^n)/(5^(n+1)-5^n))，分子分母同除以5^n即可。
10、等比级数只有公比在±1之间时才收敛，这个是很明显的，这样s才存在。s不存在的时候还有s-sn？
12、不是不能缺项，而是不能缺少无穷多项，如果我让n从100到∞取值，那么幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域不会有任何改变，这些都可以用级数的性质说明。所以只要幂次是连续的，不管通项里面是x^n，还是x^(n+1)，x^(n+k)等等，做法没有任何区别。如果幂次不是前面这种形式，那就是缺少无穷多项了，一是想方设法化为前述形式，一是直接用一般函数项级数收敛域的求法。

追问

均值不等式怎么会是那个样子的？

追答

2ab≤a^2+b^2，把a,b换成|an|与1/n

Answer 2

1.当然是交错级数了。
2.乘0就不是的。
3.是的。过了收敛域就是发散的。计算无意义。
4.你判断的根据是正项级数，但这个是交错级数。交错级数只要一般项趋于0就收敛。
5.应该是条件收敛。首先他是交错级数，所以只要一般项趋于0就收敛。这个(-1)^n/(lnn)数列收敛，你的这个绝对值比这个小，所以收敛。 但要是全部取绝对值，后一项比前一项比值趋于1，发散的。所以不是绝对收敛。
6.只有这两个函数在x->5时有极限，才可以。
7.还是用后一项比前一项。可证比值小于1.
8.同样，后一项比前一项。可证比值小于1.
9.分子 分明都除以5^n ，可证比值趋于0.8，所以收敛。
10.这是公比为q的等比数列，按公式算就可以。提出来 aq^n后算。
11.1/(n(n+1）)=1/n-1/(n+1),再跟1/(n+2)相乘。
12.不要紧。前头缺项不要紧。可以的。

追问

7.请问为什么这个不等式会成立？我看不懂这个不等式。
8.请问他的极限是怎么计算的？不是有个sin吗？他的极限是不存在的啊，那为什么极限是0？
9.我一开始也是用比值法的，可是我化简不了，因为5^n和3^n貌似合不到一起。
10.请问为什么|q|＜1，否则S不存在？
12.请问那个定理中规定的不能缺项，究竟是怎么样的不能缺项？既然像你说的缺项没关系，为什么书中要区别缺项与没有缺项的？
万分感谢！！！

追答

7,因为 an^2 收敛，所以 an^2/(an-1)^2=k<1 ((an/n)/(an-1)/(n-1))=k^(1/2)也小于1，所以也收敛。
8.an+1/an=(1+sinn)/n<2/n <1 所以收敛。
9.4^n/(5^n-3^n)=(4/5)^n/(1-(3/5)^n)=0.8^n/(1-0.6^n)=0.8^n
10.提出来 aq^n后 ,就是公比为q的等比数列。q<1就收敛。
12.收敛不收敛看无穷项加起来的结果，前头多几项少几项只影响计算的结果（就是如果收敛的话，影响累加和），不收敛的和就是无穷大，无穷大加多少减多少还是无穷大。所以无关紧要。

注意：有一种 1-1+1-1+1...这样的 。也不收敛，但结果不是无穷大。是一个不确定的数字。这种情况加几项减几项会影响结果，但依然是不确定。