Question

（2013?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接D

（2013?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE=

1

2

BF，
又∵OE=

1

2

BD，
则BF=BD；

（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，
又∵CF=1，
∴BF=3x+1，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB=

3x+1

2

，AO=AB-OB=5x-

3x+1

2

=

7x?1

2

，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即

OE

OA

=

3

5

，即

3x+1 2

7x?1 2

=

3

5

，
解得：x=

4

3

，
则圆O的半径为

3x+1

2

=

5

2

．