Question

设函数f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．（1）若a=-6，求f（x）在[1，4]上的最值；（2）若f（x）在定义域内既

设函数f（x）=x2-x+alnx，其中a≠0．（1）若a=-6，求f（x）在[1，4]上的最值；（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=-6，f（x）=x²-x+alnx，
∴f′（x）=

(2x+3)(x?2)

x

，x＞0
∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，
∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（x）_max=max{f（1），f（4）}，
∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，
∴f（x）_max=12-12ln2；
（2）∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，
∴f′（x）=

2x2?x+a

x

=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
∴2x²-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
令g（x）=2x²-x+a，则

△＝1?8a＞0 g(0)＝a＞0

，
解得0＜a＜

1

8

．

Answer 2

题目重在考查学生利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
（1）a=-6，f（x）=x2-x+alnx，
∴f′（x）=(2x+3)(x−2)/x （x＞0）
∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，
∴f（x）min=f（2）=2-6ln2，f（x）max=max{f（1），f（4）}，
∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，
∴f（x）max=12-12ln2；
（2）∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，
∴f′（x）=（2x²−x+a)/x =0在（0，+∞）内有两个不等实根，
∴2x²-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
令g（x）=2x²-x+a，
则△＝1−8a＞0 且 g(0)＝a＞0 成立
求得0＜a＜1/8

Answer 3