Question

一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管中有两个直径略小

一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管中有两个直径略小于细管内径的小球（可视为质点）A、B，A球质量为m 1 ，B球质量为m 2 ，它们沿圆管顺时针运动，经过圆管最低点时速度都是v 0 ，若某时刻A球在圆管最低点时，B球恰好在圆管最高点，两球作用于圆管的合力为零，求m 1 、m 2 、R与v 0 应满足的关系式．

Answer 1

如图所示，A球运动到最低点时速度为V 0 ，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N 1 的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得N 1 -m 1 g=m 1 v 20 R ① 这时B球位于最高点，设速度为V 1 ，B球受向下重力m 2 g和细管弹力N 2 作用．球作用于细管的力是N 1 、N 2 的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N 2 与N 1 等值反向，N 1 =N 2 ②，且N 2 方向一定向下， 对B球：N 2 +m 2 g=m 2 v 21 R ③B球由最高点运动到最低点时速度为V 0 ，此过程中机械能守恒定律，得： 　 即 1 2 m 2 V 1 2 +m 2 g?2R= 1 2 m 2 V 0 2 ④ 　 由①②③④式消去N 1 、N 2 和V 1 后得到m 1 、m 2 、R与V 0 满足的关系式是： 　 （m 1 -m 2 ） v 20 R +（m 1 +5m 2 ）g=0 ⑤ 答：m 1 、m 2 、R与v 0 应满足的关系式为 （m 1 -m 2 ） v 20 R +（m 1 +5m 2 ）g=0