Question

已知函数f（x）=ex-m-ln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）若x=0是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论函数f（x）

已知函数f（x）=ex-m-ln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）若x=0是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤-1时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x-m-

1

x+1

，
因为x=0是函数的极值点，所以f'（0）=0，即e^-m-1=0，解得m=0，
当m=0时，f（x）=e^x-ln（x+1），
f′(x)＝ex?

1

x+1

为（-1，+∞）上的增函数，
又由于f'（0）=0，
故x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
（Ⅱ）当m≤-1时，对于x∈（-1，+∞），
首先：x∈R时，e^x≥x+1恒成立；
其次：x∈（-1，+∞）时，x≥ln（x+1）恒成立；
所以e^x-m≥e^x+1＞e^x≥x+1＞x≥ln（x+1），
所以，e^x-m＞ln（x+1），即e^x-m-ln（x+1）=f（x）＞0成立．