Question

已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE?CD；（2）已知CD=5，AE=3

已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE?CD；（2）已知CD=5，AE=3，求sin∠EAF．

Answer 1

（1）证明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直径AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴

CA

CD

=

CE

CA

，
即CA²=CE?CD；
（2）解：∵CD=5，AE=CE=3，
∴DE=2，
∴EF=DF-DE=0.5，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=

0.5

3

=

1

6

．