Question

x²sinnx的原函数是什么

Answer 1

涉及到三角函数的积分都可以将sin转换成d(-cos)或将cos转换成dsin，来通过分部积分解决。以此题为例，注意到d(-cos nx)=(nsin nx)dx，因此
∫(x²sin nx)dx
=(1/n)∫x²d(-cos nx)
=(1/n)(-x²cos nx-∫(-cos nx)d(x²))
=(1/n)(-x²cos nx+2∫(xcos nx)dx)。
我们看到原来是x²乘一个三角函数，现在变成了x乘一个三角函数，说明此方法有效，继续应用这个方法。注意到d(sin nx)=(ncos nx)dx，因此
∫(xcos nx)dx
=(1/n)∫xd(sin nx)
=(1/n)(xsin nx-∫(sin nx)dx)
=(1/n)(xsin nx+(1/n)cos nx)+C。
故
∫(x²sin nx)dx
=(1/n)(-x²cos nx+(2/n)(xsin nx+(1/n)cos nx))+C
=(1/n)((2/n²-x²)cos nx+(2x/n)sin nx)+C。

Answer 2

若n=0, 则∫x²sinnxdx=∫0dx=C
若n≠0, 则
∫x²sinnxdx
=x² *(-1/n)cosnx+∫2x(1/n)cosnxdx
=-1/n*x²cosnx+2/n²∫x d(sinnx)
=-1/n*x²cosnx+2/n²[xsinnx-∫sinnxdx]
=-1/n*x²cosnx+2/n²[xsinnx+1/ncosnx]+C
=-(1/n)x²cosnx+(2/n²)xsinnx+(2/n³)cosnx+C