Question

高三，立体几何求解。

题目如图。

Answer 1

题目的最关键那句话翻译一下：
当PA=r时，P在正方体表面上形成轨迹，其长度记为f(r).

所以r=1/2时，就是离A距离1/2的所有的点的轨迹，亦即以A为顶点的三个面上分别作圆弧，长度为三段圆弧之和，即3π/4.

方程f(r)=k就是问存在多少个r，使轨迹的长度等于k。
以下的叙述比较难理解，请拿个正方体来比划比划。
显然，0<r≤1时的轨迹长度f(r)一定是以A为顶点的三个面（记作α1α2α3）上的圆弧，总长度为3rπ/2，是单调递增函数。
√2≤r<√3时则成为在另外三个面（记作β1β2β3）上的三段圆弧，是单调递减函数。
在1<r<√2时，则该轨迹跨越6个面，且当r增加时，α1α2α3上的圆弧长度越来越短，β1β2β3上的越来越长。
可以求得，在α1α2α3上的圆弧总长度为3r(π/2 - 2 ArcCos1/r)
在β1β2β3上的圆弧总长度为π√(r^2 - 1) / 2.

而事实上，两个函数之和仍然是单调递减函数。证明比较繁，略过。
也就是说，f(r)的总体情况是一开始单调递增，到r=1时取得最大值；然后单调递减。
因此对于一个给定的k，f(r)=k可以有0, 1, 2个解。

追问

=.= 呜 可是答案是0,2,3,4.

追答

我想大概答案的意思是f(r)应当成M状，所以会出现0234……你不妨再算算f(r)到底是什么解析式？虽然肯定是在1和√2处分断没问题……