Question

如何用初等变换判定矩阵是否可逆

Answer 1

用初等变换将矩阵化成阶梯型矩阵，看最后一行是否全为0，如果最后一行全为0 则原矩阵不可逆；如果不存在全0行，则原矩阵可逆。

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候，即用行变换把矩阵（A，zhiE）化成（E，B）的形dao式，那么B就等于A的逆在这里

（A，E）＝

1－1－1－11000

11－1－10100

111－10010

11110001第4行减去第3行，第3行减去第2行，第2行减去第1行～1－1－1－11000

0200－1100

00200－110

000200－11第2，3，4行都除以2～1－1－1－11000

0100－1／21／200

00100－1／21／20

000100－1／21／2第1行分别加上第2行，第3行和第4行～10001／2001／2

0100－1／21／200

00100－1／21／20

000100－1／21／2

这样就已经通过初等行变换把（A，E）～（E，A＾－1），

于是得到了原矩阵的逆矩阵就是

1／2001／2

－1／21／200

0－1／21／20

00－1／21／2。

扩展资料：

（1）逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵 

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积 

参考资料来源：百度百科-逆矩阵

Answer 2

一个矩阵可以用初等变换化成一个下三角或者是上三角矩阵，通过看对角元素上是否有0出现，若出现矩阵不可逆，否则可逆，这本质上是看矩阵的行列式是否为0来判断矩阵是否可逆。
而进行初等行变换时，相当左边乘上相应的初等矩阵，进行一系列操作时相当于左边乘一系列初等矩阵，而这些初等矩阵的乘积是可逆的。事实上可以证明，一个可逆阵可以通过初等行变换化为单位阵，这就是通过初等矩阵求矩阵逆的方法，即通过将 [A I] 进行行变换为 [I B] 时，此时B就是A的逆。
若我们通过初等变换得到上三角矩阵时，相当与 PA=上三角 ，而P是可逆的，这样A可逆等同于 上三角阵 可逆，上三角阵可以一眼看出行列式

Answer 3

用初等变换将矩阵化成阶梯型矩阵，看最后一行是否全为0，如果最后一行全为0 则原矩阵不可逆；如果不存在全0行，则原矩阵可逆。

Answer 4

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
1 -1 -1 -1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 1 1 -1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1 第4行减去第3行,第3行减去第2行,第2行减去第1行

Answer 5

因为初等变换包括初等行变换,初等列变换!
例如;
矩阵[1 0; 0 0;1 1]当然可以作初等变换,但其方阵都不是,一定不可逆!