Question

设a为常数,a属于R,函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x属于R （1）若函数f(x)是偶函数，求实数a的值

（2）求函数f(x)的最小值

Answer 1

（1）函数f(x)是偶函数，则：f（x）=f（-x）
x^2+|x-a|+1=x^2+|-x-a|+1
|x-a|=|-x-a|=|x+a|
a=0

（2）x＞a时f(x)=x^2+x-a+1
x=a时f(x)=x^2+1
x＜a时f(x)=x^2-x+a+1
对称轴：x＞a时-1/2
x=a时0
x＜a时1/2
则：当a＞1/2时，x=a左侧x^2-x+a+1先减后增，右侧x^2+x-a+1递增，过（a，a²+1）最小值f（1/2）
a=1/2时，最小值也是f（1/2）
a＜1/2时，x=a左侧x^2-x+a+1递减，右侧x^2+x-a+1递增，过（a，a²+1）最小值f（a）

Answer 2

解:
1,f(x)为偶函数,有
x^2+|x-a|+1=x^2+|-x-a|+1
得,|x-a|=|x+a|
得a=0
2,f(x)=x^2+|x|+1>=1
最小值f(x)=1

Answer 3

x＞a时f(x)=x^2+x-a+1x=a时f(x)=x^2+1x＜a时f(x)=x^2-x+a+1对称轴：x＞a时-1/2x=a时0x＜a时1/2则：当a＞1/2时，x=a左侧x^2-x+a+1先减后增，右侧x^2+x-a+1递增，过（a，a²+1）最小值f（1/2）a=1/2时，最小值也是f（1/2）a＜1/2时，x=a左侧x^2-x+a+1递减，右侧x^2+x-a+1递增，过（a，a²+1）最小值f（a）