Question

若函数f(x)=ax/(ax^2+4ax+3)的定义域是R,则实数a的取值范围为 （答案是[0,3/4)，求过程）

Answer 1

f(x)=ax/（ax^2+4ax+3)的定义域为R，则必须有ax^2+4ax+3不等于0
令g(x)=ax^2+4ax+3,g(x)不等于0的条件是：
（1）当a=0时，g(x)=3符合条件；
（2）当a不等于0时，则有a*g(-2)>0，//这个意思是，如果开口向上，那个函数最小值一定要大于0
如果开口向下，函数最小值一定要小于0
则a*(4a-8a+3)>0，则0<a<3/4
综上，0<=a<3/4

追问

不懂a不等于0时。可否解释下。

追答

a不等于0，那么一定是一个二次函数。二次函数要想不等于0，就意味着函数和x轴没有交点，
那么在开口向上时候(a>0) ，函数的最小值一定要在x轴的上方，（画个图理解下？）
在开口向下的时候(a0 // g(-2)为函数的最值。

追问

请问可以用判别式解吗？

追答

当然是可以的啦。△=(4a)^2-4*a*3<0 //因为g(x)=ax^2+4ax+3不能为0，也就意味着g(x)=0的时候没有实数解，∴△<0
解得0<a<3/4 结合a=0的情况
得出0<=a<3/4

Answer 2

（1）当a=0时，g(x)=3符合条件；
（2）当a不等于0时，判别式=16a²-12a<0
则0<a<3/4

所以，0≤a<3/4