Question

用定义证明在f(x)=2x+3/x+1在(0,+无穷)上是减函数

急急急！万分感谢！！

Answer 1

设 0<a<b
则 f(a)-f(b)=(2a+3/a+1)-(2b+3/b+1)
=2a-2b+3/a-3/b
=2(a-b)+3(b-a)/(ab)
=(a-b)(2-3/(ab))
1、当 x>√(3/2) 时，ab>3/2，3/(ab)<2，2-3/(ab)>0
又a-b<0，所以 f(a)-f(b)<0，f(a)<f(b)
f(x) 在 (√(3/2),+∞) 上是增函数
2、当 0<x<√(3/2) 时，ab<3/2，3/(ab)>2，2-3/(ab)<0
又a-b<0，所以 f(a)-f(b)>0，f(a)>f(b)
f(x) 在 (0,√(3/2)) 上是减函数

由此证明，题目出错了

如果题目变成：f(x)=(2x+3)/(x+1)
则 f(a)-f(b)=(2a+3)/(a+1)-(2b+3)/(b+1)
=((2a+3)(b+1)-(2b+3)(a+1))/((a+1)(b+1))
=((2ab+2a+3b+3)-(2ab+3a+2b+3))/((a+1)(b+1))
=(b-a)/((a+1)(b+1))
所以 f(a)-f(b)>0，f(a)>f(b)
所以 f(x)在 (0,+∞) 上是减函数

Answer 2

令x1>x2>0，则
f(x1)-f(x2)
=(2x1+3)/(x1+1)-(2x2+3)/(x2+1)
=[(2x1+3)(x2+1)-(2x2+3)(x1+1)]/[(x1+1)(x2+1)]
=(2x1x2+2x1+3x2+3-2x1x2-2x2-3x1-3)/[(x1+1)(x2+1)]
=(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]

∵x1>x2>0
∴x2-x1<0，x1+1>0，x2+1>0
∴(x2-x1)/[(x1+1)(x2+1)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
∴函数f(x)=(2x+3)/(x+1)在(0，+∞)上是减函数

Answer 3

取任意数 x；0< x < y

如果
f(x) - f(y) > 0 则是增函数

反之 f(x) - f(y) < 0 则是减函数 、、

过程中可能出现 x-y 这个大于0、、、、带入就好了、、

Answer 4

你的题目写错了吧，是不是少了两个括号？？应该是“f(x)=(2x+3)/(x+1)”，这样的话楼上正解。