Question

已知：直线y=﹣√3x+4√3与x轴相交于点A与直线y=kx相交于点p（2,2√3） 动点E从原点O出发，以每秒一个单位

已知：直线y=﹣√3x+4√3与x轴相交于点A与直线y=kx相交于点p（2,2√3）
动点E从原点O出发，以每秒一个单位的速度沿着O→P→A的路线匀速出发（不与点A，O重合），过点E分别EF⊥X作轴于点F，EB⊥x轴于点B。设运动t秒时矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S。
求S与t的函数关系式，当t=2√6时对应S值

Answer 1

直线y=﹣√3x+4√3与x轴相交于点A与直线y=kx相交于点p（2,2√3）
2√3=k*2
k=√3
y=√3 x
E(x,√3 x)
运动t秒时矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S
当E在直线y=√3 x上运动时
S=EF*OF/2=(√3 x)*x/2=(√3 /2)x^2
OP=√[(2-0)^2+(2√3-0)^2]=4
OE=t
2/Op=x/t
x=2t/OP=2t/4=t/2
S=(√3 /2)x^2=(√3 /2)(t/2)^2=(√3 /8)t^2
当E在直线y=﹣√3x+4√3上运动时,重叠部分是梯形
A(4,0)
AP=OA=4
AE=8-t
AF=(8-t)/2
OF=OA-AF=4-(8-t)/2=t/2=BE
CE=BE-BC=t/2-(8-t)/2=t-4
EF=√3*FA=√3(8-t)/2
S=(CE+OF)*EF/2=[(t-4+t/2)√3(8-t)/2]/2=(-√3/8)(3t^2-32t+64)
当t=2√6时
S=(-√3/8)(3t^2-32t+64)=(-√3/8)[3(2√6)^2-32(2√6)+64]
=24√2-17√3